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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 10

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/((4 + x^2)^((3)/(2)))

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos x^2 + 4 = x^2 + 2^2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 2 tan theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,2,tan theta],[d,x,=,2,sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = 4 tan^2 theta -> x^2 + 4 = 4 tan^2 theta + 4 = 4 overset(sec^2 theta)(obrace (tan^2 theta + 1)) = 2^2 sec^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

int (d x)/((4 + x^2)^((3)/(2))) = int (2 sec^2 theta d theta)/((2^2 sec^2 theta)^((3)/(2))) = int (2 sec^2 theta d theta)/((2 sec theta)^3) = (2)/(2^3) int (d theta)/(sec theta) = (1)/(4) int cos theta d theta

= (1)/(4) ( sen theta ) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 2 tan theta , temos:

int (d x)/((4 + x^2)^((3)/(2))) = (1)/(4) ( sen theta ) + C

Para achar sen theta nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (x)/(sqrt(x^2 + a^2)) = (x)/(sqrt(x^2 + 4))

Dessa forma, o resultado da integral será:

int (d x)/((4 + x^2)^((3)/(2))) = (1)/(4) ((x)/(sqrt(x^2 + 4))) + C

Resposta

int (d x)/((4 + x^2)^((3)/(2))) = (x)/(4 sqrt(x^2 + 4)) + C

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