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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 86

Calcule a integral

int x^3 * e^(x^2) d x

Passo 1

Para calcular essa integral iremos o método da substituição simples além de utilizar, também, o método de integração por partes que nos diz o seguinte

int k d v = k * v - int v d k

Passo 2

int x^3 * e^(x^2) d x

Fazendo a seguinte substituição u = x^2 -> (d u)/(d x) = 2 x -> (d u)/(2) = x d x podemos reescrever nossa integral como sendo

int x^2 * e^(x^2) * x d x =

int (u * e^u)/(2) d u =

(1)/(2) * int u * e^u d u

Para utilizarmos a integração por partes devemos escolher uma das funções para integrarmos e uma da função para derivarmos, para facilitar as contas vamos escolher

k = u -> d k = 1 d v = e^u -> v = e^u

Dessa forma, vamos ter

(1)/(2) * (int u * e^u d u) =

(1)/(2) * (u * e^u - int e^u d u) = (1)/(2) * (u * e^u - e^u) =

(e^u)/(2) * (u - 1) + C

Mas u = x^2 , então,

(e^(x^2))/(2) * (x^2 - 1) + C

Resposta

(e^(x^2))/(2) * (x^2 - 1) + C

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