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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 88

Calcule a integral

int (t g^(- 1) (x))/(x^2) d x

Passo 1

Para calcularmos essa integral, de uma maneira mais simples, será necessário utilizar a regra de integração por partes que nos diz o seguinte

int u d v = u * v - int v d u ( i )

Passo 2

Pela integração por partes devemos pegar uma função para derivarmos (ela será nosso ( u ) e uma função para integrarmos ( d v ). Para o nosso caso, vamos fazer as seguintes escolhas

u = arctan (x) -> d u = (1)/(1 + x^2)

d v = (1)/(x^2) -> v = - (1)/(x)

Substituindo em ( i ) teremos

int (t g^(- 1) (x))/(x^2) d x = - (arctan (x))/(x) - int - (d x)/(x * ( 1 + x^2 ))

int (t g^(- 1) (x))/(x^2) d x = - (arctan (x))/(x) + int (d x)/(x * ( 1 + x^2 ))

Para finalizarmos o problema agora, resta-nos resolver a integral int (d x)/(x * ( 1 + x^2 )) que pode ser solucionada utilizando uma separação com frações parciais

int (d x)/(x * ( 1 + x^2 )) = int ((1)/(x) - (x)/(x^2 + 1)) d x

Aplicando a linearidade da integral podemos fazer

int ((1)/(x) - (x)/(x^2 + 1)) d x = int (d x)/(x) - int (x)/(x^2 + 1) d x

Agora, podemos calcular as integrais de forma separada e juntar tudo ao final. Dessa forma,

(i) int (d x)/(x) = ln |x| + C

(i i) int (x)/(x^2 + 1) d x =

F a z e n d o x^2 + 1 = u -> x d x = (d u)/(2)

-> int (d u)/(2 u) = (1)/(2) * ln |u| + C

Retornando a variável x temos

-> (1)/(2) * ln |x^2 + 1| + C

Por fim, basta juntarmos todos os resultados em uma única resposta, então,

int (t g^(- 1) (x))/(x^2) d x = - (arctan (x))/(x) + int (d x)/(x) - int (x)/(x^2 + 1) d x

= - (arctan (x))/(x) + ln |x| - (1)/(2) * ln |x^2 + 1| + C

Resposta

- (arctan (x))/(x) + ln |x| - (1)/(2) * ln |x^2 + 1| + C

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