Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 59
Calcule a integral definida.
Passo 1
Pessoal nessa questão devemos calcular a seguinte integral:
Para resolver a integral, a técnica da substituição parece ser uma boa opção...
Sabemos disso, pois temos um fator que possui e a sua derivada que possui aparece no resto da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável .
Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de .
Então, devemos encontrar derivando em termos de .
E portanto teremos que:
E dessa forma, substituímos a diferencial de da integral.
Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.
Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.
Eu vou seguir por esse caminho aqui.
Passo 2
Note que a derivada de é .
Assim, a substituição
vai resolver nosso problema.
Encontramos a sua diferencial fazendo a sua derivada:
Portanto,
Para os limites da integração temos que quando:
E quando:
Passo 3
Nossa integral é:
Realizando a substituição teremos:
Calculando a integral:
Substituindo os limites de integração ficamos com: