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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 59

Calcule a integral definida.

∫ 1 2 e 1 / x x 2   d x

Passo 1

Pessoal nessa questão devemos calcular a seguinte integral:

∫ 1 2 e 1 / x x 2   d x

Para resolver a integral, a técnica da substituição parece ser uma boa opção...

Sabemos disso, pois temos um fator que possui 1 / x e a sua derivada que possui - 1 x 2 aparece no resto da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável u .

Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de u .

Então, devemos encontrar d u derivando u em termos de x .

d u = u ' d x

E portanto teremos que:

d x = d u u '

E dessa forma, substituímos a diferencial de x da integral.

Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.

Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável u , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.

Eu vou seguir por esse caminho aqui.

Passo 2

Note que a derivada de 1 / x é - 1 / x 2 .

Assim, a substituição

u = 1 / x

vai resolver nosso problema.

Encontramos a sua diferencial fazendo a sua derivada:

d u = u ' d x

d u = - 1 x 2 d x

Portanto,

d x x 2 = - d u

Para os limites da integração temos que quando:

x = 1

u = 1 x = 1

E quando:

x = 2

u = 1 x = 1 / 2

Passo 3

Nossa integral é:

∫ 1 2 e 1 / x x 2   d x = ∫ 1 2 e 1 / x d x x 2

Realizando a substituição teremos:

∫ 1 2 e 1 / x d x x 2 = - ∫ 1 1 2 e u   d u

Calculando a integral:

- ∫ 1 1 2 e u   d u = - e u 1 1 2

Substituindo os limites de integração ficamos com:

- e u 1 1 2 = - e 1 / 2 - e 1 = e - e

Resposta

∫ 1 2 e 1 / x x 2   d x = e - e

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