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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 20

Calcule a integral definida

int_4^5 x^2 sqrt(x - 4) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Aqui vamos usar aquela substituição malandra para deixar o argumento da raiz com um único termo. Lembra que já fizemos isso antes? Então é a mesma ideia.

PARTIU substituir!!!

int_4^5 x^2 sqrt(x - 4) d x

u = x - 4 -> u + 4 = x

d u = dx

Proximo passo é alterar os limites de integração.

u = x - 4

Se x = 4 , u = 0

Se x = 5 , u = 1

Entao

int_4^5 x^2 sqrt(x - 4) d x

fica

int_0^1 (u + 4)^2 sqrt(u) d u

Passo 3

Pronto já esta quase tudo certo para calcularmos. Vamos abrir a parte (u + 4)^2

int_0^1 (u + 4)^2 sqrt(u) d u = int_0^1 u^((5)/(2)) + 8 u^((3)/(2)) + 16 u^((1)/(2)) d u

Agora sim , ficou perfeito. Assim sabemos calcular. Cada termo sendo independente um do outro. Integrar funções que se multiplicam requer um outro método. O que iria gerar uma dificuldade desnecessária à nossa integração.

Logo temos:

int_0^1 u^((5)/(2)) + 8 u^((3)/(2)) + 16 u^((1)/(2)) d u

((2)/(7) u^(7 // 2) + 8 . (2)/(5) u^(5 // 2) + 16 . (2)/(3) u^(3 // 2)|_(u = 0)^1

(2)/(7) 1^((7)/(2)) + (16)/(5) 1^((5)/(2)) + (32)/(3) 1^((3)/(2))

(1486)/(105)

Resposta

int_4^5 x^2 sqrt(x - 4) d x = (1486)/(105)

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