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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 1c

Determine o centro de massa da região A dada

c ) A = {(x , y) in R | x^2 + 4 y^2 <= 1 , y >= 0}

Passo 1

Para encotrarmos o centro de massa precisamos achar x_c e y_c que são descritos por:

x_c = (int_a^b x [g (x) - f (x)] d x)/(Á r e a d e A)

y_c = (1)/(2) (int_a^b [g (x) + f (x)] [g (x) - f (x)] d x)/(Á r e a d e A)

A figura fica assim:

Daí vamos achar uma função y em função de x :

y (x) = (1)/(2) sqrt(1 - x^2)

Agora vamos achar a Área de A:

int_(- 1)^1 (1)/(2) sqrt(1 - x^2) d x

Vamos agora calcular.

Passo 2

(1)/(2) int_(- 1)^1 sqrt(1 - x^2) d x

Vamos usar substituição trigonométrica para esse caso. Imagine que temos o triângulo abaixo:

E seu cateto adjacente a theta vale sqrt(1 - x^2) e o cateto oposto vale x com a hipotenusa valendo 1. Assim as seguintes relações valem:

cos theta = sqrt(1 - x^2) e sin theta = x -> d x = cos theta d theta

Fazendo as substituições:

(1)/(2) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta = (1)/(2) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (1)/(2) (1 + cos 2 theta) d theta = (1)/(4) [theta + (sin 2 theta)/(2)] ((pi)/(2))/(- (pi)/(2)) = (1)/(4) ((pi)/(2) - (- (pi)/(2))) = (1)/(4) (pi) = (pi)/(4)

Agora que temos a Área de A vamos achar as outras integrais:

int_a^b x [g (x) - f (x)] d x = (1)/(2) int_(- 1)^1 x sqrt(1 - x^2) d x =

Vamos fazer aqui a substituição: u = 1 - x^2 -> d u = - 2 x d x

(1)/(2) int_(- 1)^1 x sqrt(1 - x^2) d x = - (1)/(4) int_0^0 sqrt(u) d u = 0

int_a^b [g (x) + f (x)] [g (x) - f (x)] d x = (1)/(4) int_(- 1)^1 (sqrt(1 - x^2)) (sqrt(1 - x^2)) d x

= (1)/(4) int_(- 1)^1 (1 - x^2) d x = (1)/(4) [x - (x^3)/(3)] (1)/(- 1) = (1)/(4) ((1 - (- 1)) - (1)/(3) ( (1)^3 - (- 1)^3 )) = (1)/(4) (2 - (2)/(3)) =

= ((1)/(4) xx (4)/(3)) = ((1)/(3))

Passo 3

Agora substituímos:

x_c = (int_a^b x [g (x) - f (x)] d x)/(Á r e a d e A) = (0)/((pi)/(4)) = 0

y_c = (1)/(2) (int_a^b [g (x) + f (x)] [g (x) - f (x)] d x)/(Á r e a d e A) = (1)/(2) ((1)/(3))/((pi)/(4)) = (1)/(2) xx (4)/(3 pi) = (2)/(3 pi)

Resposta

(x_c , y_c) = (0 , (2)/(3 pi))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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