Determine o centro de massa da região A dada

b) A = {(x, y) ∈ R | x^2 + 4y^2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}

Passo 1

Para encotrarmos o centro de massa precisamos achar x c   e     y c que são descritos por:

x c = ∫ a b x g x - f x d x Á r e a   d e   A

y c = 1 2 ∫ a b g x + f x g x - f x d x Á r e a   d e   A

A figura fica assim:

Daí vamos achar uma função y   em função de x   :

y x = 1 2 1 - x 2

Agora vamos achar a Área de A:

∫ 0 1 1 2 1 - x 2 d x

Vamos agora calcular.

Passo 2

1 2 ∫ 0 1 1 - x 2 d x

Vamos usar substituição trigonométrica para esse caso. Imagine que temos o triângulo abaixo:

E seu cateto adjacente a θ vale 1 - x 2 e o cateto oposto vale x com a hipotenusa valendo 1. Assim as seguintes relações valem:

cos ⁡ θ = 1 - x 2   e sin ⁡ θ   = x → d x = cos ⁡ θ   d θ

Fazendo as substituições:

1 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ 0 π 2 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 1 4 θ + sin ⁡ 2 θ 2 π 2 0 = π 8

Agora que temos a Área de A vamos achar as outras integrais:

∫ a b x g x - f x d x = 1 2 ∫ 0 1 x 1 - x 2 d x =

Vamos fazer aqui a substituição: u = 1 - x 2 → d u = - 2 x d x

1 2 ∫ 0 1 x 1 - x 2 d x = - 1 4 ∫ 1 0 u d u = - 1 4 2 3 u 0 1 = - 1 4 - 2 3 = 1 6

∫ a b g x + f x g x - f x d x = 1 4 ∫ 0 1 1 - x 2 1 - x 2 d x

= 1 4 ∫ 0 1 1 - x 2 d x = 1 4 x - x 3 3 1 0 = 1 4 1 - 1 3 1 3 = 1 4 1 - 1 3   = 1 4 × 2 3 = 1 6

Passo 3

Agora substituímos:

x c = ∫ a b x g x - f x d x Á r e a   d e   A = 1 6 π 8 = 4 3 π

y c = 1 2 ∫ a b g x + f x g x - f x d x Á r e a   d e   A = 1 2 1 6 π 8 = 1 2 × 2 3 π = 2 3 π

Resposta

x c , y c = 4 3 π , 2 3 π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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