Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.3 - Ex. 26
Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.
Passo 1
Oie!
Esse exercício pede para fazer a seguinte integral:
Mas que torna uma função integrável?
Imagina que estamos olhando para o gráfico de uma função, como uma montanha russa. Para dizer que essa função é integrável, precisamos saber se podemos medir a área sob essa curva, um detalhe a ser analisado é a continuidade:
Uma função contínua, ou seja, sem buracos ou saltos, em um intervalo fechado é sempre integrável. Isso significa que, se você conseguir desenhar a função sem levantar o lápis do papel, ela é integrável nesse intervalo.
Funções Não Limitadas: Existem funções que não são limitadas e, portanto, não são integráveis. Um exemplo é a função , que não é limitada próximo a zero. Logo, não é integrável em intervalos que contenham zero no seu interior.
Resumindo:
Imagine que você está desenhando uma linha em um papel. Se essa linha é suave e contínua, sem levantar o lápis, é fácil medir a área abaixo dela. Mesmo que você tenha que levantar o lápis uma ou duas vezes, ainda dá para medir a área se essas interrupções não forem muitas ou não forem muito complicadas. Se você conseguir fazer isso, a função que desenhou é integrável.
Passo 2
A integral que ele nos pede para calcular é a seguinte:
Isto é,
Mas essa integral não existe, pois quando integramos de até passamos pelo ponto onde , mas a função é descontinua em uma vez que o denominador nunca pode ser . Portanto ela não será integrável, caindo no Funções não limitadas do nosso passo 1.
Para ficar mais claro, vamos dar uma olhadinha no grafico:
Note que em não temos a função definida!
Por isso é importante analisarmos as integrais antes de partir para as contas! Feshow?
Resposta
Não existe.