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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 31

Calcule a integral:

int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) csc t cot t d t

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Vamos calcular essa integral aqui:

int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) csc t cot t d t

Putz, que integralzinha feia heim! Mas vamos ficar calmos, aqui a gente precisa lembrar da parte 1 do Teorema fundamental do cálculo:

Se f é contínua em um intervalo fechado [ a , b ] é e F uma função definida por:

F (x) = int_a^x f ( t ) d t

Onde a <= x <= b , então F é contínua em [ a , b ] e diferenciável em ( a , b ) e sua derivada F^' ( x ) é dada por:

F^' (x) = f (x)

Beleza?! Mas em que que isso me ajuda na hora de resolver a integral?

É muito simples, a grosso modo a gente terminou de ver que a integral é o “inverso” da derivada, certo?! Então tudo que temos que fazer é procurar uma função cuja sua derivada é igual a csc t cot t , ou pelo menos alguma coisa próxima que nos ajude!

Passo 2

Podemos consular a tabela de funções trigométricas lá no capítulo 3.3 do livro. Lá vamos achar que:

(d)/(d x) (csc x) = - csc x cot x

Opaaa, isso ajuda bastante! Finalmente podemos resolver:

int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) csc t cot t d t = (csc t|_((pi)/(6) )^((pi)/(4))

Substituindo os limites de integração:

(csc t|_((pi)/(6) )^((pi)/(4)) = csc (pi)/(4) - csc (pi)/(6) = sqrt(2) - 2

Assim temos:

int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) csc t cot t d t = sqrt(2) - 2

Resposta

int_((pi)/(6))^((pi)/(4)) csc t cot t d t = sqrt(2) - 2

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