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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 31

Calcule a integral.

∫ 0 1 x x 3 + x 4 d x

Passo 1

E aí, galera 😊!

Nessa questão, temos que calcular a integral definida

∫ 0 1 x x 3 + x 4 d x .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 0 ,   1 ] e o integrando é a função

f x =   x x 3 + x 4 = x x 1 3 + x 1 4 ,

ou seja,

f x =   x 4 3 + x 5 4 .

Reescrever o integrando dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f x d x = ∫ f x d x a b

    onde ∫ f x d x é a primitiva da função f , ou seja,

    d d x ∫ f ( x ) d x   = f x .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

∫ f x + g x d x =   ∫ f x d x +   ∫ g ( x ) d x .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função x n é a função

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ 0 ,   1 ] .

Bora lá!

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ x 4 3 + x 5 4   d x .

Para isso, usamos que

∫ x 4 3 + x 5 4   d x = ∫ x 4 3   d x + ∫ x 5 4 d x .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos temos que

∫ x 4 3 + x 5 4   d x = 3 7 x 7 3 + 4 9 x 9 4 + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d x 3 7 x 7 3 + 4 9 x 9 4 + C = x 4 3 + x 5 4 = f ( x ) ,

então encontramos a integral indefinida geral (primitiva) de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ 0 ,   1 ] , temos:

∫ 0 1 x 4 3 + x 5 4   d x = ∫ x 4 3 + x 5 4   d x 0 1 .

Como no passo anterior encontramos que

∫ x 4 3 + x 5 4   d x = 3 7 x 7 3 + 4 9 x 9 4 + C ,

calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em x =   1

∫ x 4 3 + x 5 4   d x ​ x = 1 = 3 7 ( 1 ) 7 3 + 4 9 ( 1 ) 9 4 + C ,

ou seja,

∫ x 4 3 + x 5 4   d x ​ x = 1 = 3 7 + 4 9 + C = 55 63 + C .

Em x = 0

∫ x 4 3 + x 5 4   d x ​ x = 0 = 3 7 ( 0 ) 7 3 + 4 9 ( 0 ) 9 4 + C ,

ou seja,

∫ x 4 3 + x 5 4   d x ​ x = 0 = C .

Substituindo na igualdade do Teorema e fazendo as contas, temos que:

∫ 0 1 x 4 3 + x 5 4   d x = 55 63 + C - C = 55 63 .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 0 1 x 3 + x 4 d x =   ∫ 0 1 x 4 3 + x 5 4   d x = 55 63 .

Resposta

A integral vale:

∫ 0 1 x 3 + x 4 d x = 55 63 .

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