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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 29

Calcule a integral   ∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x   usando uma substituição antes da integração por partes.

Passo 1

Como o enunciado pede iremos aplicar primeiramente o método da substituição e em seguida resolvemos essa integral utilizando a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Para poder resolver   ∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x utilizamos, inicialmente, o método da substituição:

w   = l n   x     logo x = e w

d w   =   ( ln ⁡ x ) ’ d x

d w   =   1 x   d x

d x = x   d w

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x =   ∫ s e n ( ln ⁡ x ) . x d w

=   ∫ ( s e n   w . ) e w d w

Agora resolvemos por partes a integral ∫ e w . w     d w . Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   s e n   w  

pois é o valor mais simples de derivar

d u   =   ( s e n   w ) ’ .   d w

d u   =   c o s   w   d w

d v   =   e w   d w

v = ∫ e w   d w

v   =   e w

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ e w . s e n   w   d w     = ( s e n   w ) . e w -   ∫ e w .   c o s   w   d w

Para poder resolver ∫ e w .   c o s   w   d w Utilizamos novamente o método da integração por partes:

u   =   c o s   w      

d u   =   ( c o s   w ) ’   d

d u   =   - s e n   w   d w    

d v   =   e w . d w

          v = ∫ e w   d w

v =   e w

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ e w .   c o s   w   d w   = c o s   w . e w -   ∫ e w   - s e n   w   d w

= c o s   w . e w +   ∫ e w   . s e n   w   d w

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

∫ e w . s e n   w   d w     = s e n   w . e w -   ∫ e w .   c o s   w   d w

∫ e w . s e n   w   d w     = ( s e n   w ) . e w -   c o s   w . e w +   ∫ e w   . s e n   w   d w

∫ e w . s e n   w   d w = ( s e n   w ) . e w -   c o s   w . e w -   ∫ e w   . s e n   w   d w

∫ e w . s e n   w   d w + ∫ e w . s e n   w   d w = ( s e n   w ) . e w -   c o s   w . e w

2 . ∫ e w . s e n   w   d w = e w ( s e n   w -   c o s   w )

∫ e w . s e n w   d w = e w ( s e n   w -   c o s   w ) 2

Passo 3

Agora vamos substituir w = l n   x  

= e w ( s e n   w -   c o s   w ) 2

= e l n   x ( s e n   ( l n   x ) -   c o s   ( l n   x ) ) 2

= x . ( s e n   ( l n   x ) -   c o s   ( l n   x ) ) 2 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ s e n ( ln ⁡ x ) d x = x . ( s e n   ( l n   x ) -   c o s   ( l n   x ) ) 2 + c

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