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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 24

Calcule a integral int e^(- 2 x) . sen 2 x d x usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = s e n 2 x

Pois é o valor mais simples de derivar. d u = ( s e n 2 x ) ’ . d x

d u = ( c o s 2 x ) . 2 d x

d v = e^(- 2 x) d x

v = int e^(- 2 x) d x

v = - (1)/(2) e^(- 2 x)

Observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: int e^(a x) d x = (1)/(a) . e^(a x)

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int e^(- 2 x) . sen 2 x d x = (s e n 2 x) . ( - (1)/(2) e^(- 2 x) ) - int ( - (1)/(2) . e^(- 2 x) ) . ( c o s 2 x ) . 2 d x

= - (e^(- 2 x))/(2) . (s e n 2 x) - (- 1) . int e^(- 2 x) . ( c o s 2 x ) d x

= - (e^(- 2 x))/(2) . (s e n 2 x) + int e^(- 2 x) . ( c o s 2 x ) d x

Para poder resolver int e^(- 2 x) . ( c o s 2 x ) d x utilizamos novamente o método da integração por partes:

w = c o s 2 x

d z = e^(- 2 x) . d x

d w = ( c o s 2 x ) ’ d x

z = int e^(- 2 x) d x

d w = (- s e n 2 x) . 2 d x

z = - (1)/(2) e^(- 2 x)

int w d z = w . z - int z d w

int e^(- 2 x) . ( c o s 2 x ) d x = (c o s 2 x) . ( - (1)/(2) e^(- 2 x) ) - int - (1)/(2) e^(- 2 x) . (- s e n 2 x) . 2 d x

= - (e^(- 2 x))/(2) . (c o s 2 x) - int e^(- 2 x) . (s e n 2 x) d x

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

int e^(- 2 x) . sen 2 x d x = - (e^(- 2 x))/(2) . (s e n 2 x) + int e^(- 2 x) . ( c o s 2 x ) d x

int e^(- 2 x) . sen 2 x d x = - (e^(- 2 x))/(2) . (s e n 2 x) + (- (e^(- 2 x))/(2) . (c o s 2 x) - int e^(- 2 x) . (s e n 2 x) d x)

int e^(- 2 x) . sen 2 x d x = - (e^(- 2 x))/(2) . (s e n 2 x) - (e^(- 2 x))/(2) . (c o s 2 x) - int e^(- 2 x) . (s e n 2 x) d x

int e^(- 2 x) . (s e n 2 x) d x + int e^(- 2 x) . (s e n 2 x) d x = - (e^(- 2 x))/(2) . (s e n 2 x) - (e^(- 2 x))/(2) . (c o s 2 x)

2 . int e^(- 2 x) . (s e n 2 x) d x = - (e^(2 x))/(2) . (s e n 2 x) - (e^(- 2 x))/(2) . (c o s 2 x)

int e^(- 2 x) . (s e n 2 x) d x = (- e^(- 2 x) . ( s e n 2 x + c o s 2 x ))/(4) + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

int e^(- 2 x) . (s e n 2 x) d x = (- e^(- 2 x) . ( s e n 2 x + c o s 2 x ))/(4) + c

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Calcule a integral usando integração por partes int x^2 s e n ( 1 - x ) d x
Seja n um natural diferente de zero. Verifiqueb) int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2^(2 n) (n !)^2)/((2 n + 1) !)
Verifique que, para todo natural n = 1 tem-se: int_0^1 (1 - x^2)^n d x = (2 n)/(2 n + 1) . int_0^1 (1 - x^2)^(n - 1) d x
Sejam m e n dois naturais diferentes de zero. Verifiqueb) ∫ 0 1 x n 1 - x m d x = n ! m ! m + n + 1 !
Calcule a integral.int (x^2 + 2 x) c o s x d x