Calcule a integral ∫ e - 2 x . sen ⁡ 2 x   d x usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolhemos o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   s e n   2 x

Pois é o valor mais simples de derivar. d u   =   ( s e n   2 x ) ’ .   d x  

d u   =   ( c o s   2 x ) . 2   d x

  d v   =   e - 2 x   d x

v = ∫ e - 2 x   d x

v   = - 1 2   e - 2 x  

Observe que para achar o valor de “v” usamos a fórmula: ∫ e a x   d x =   1 a .   e a x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ e - 2 x . sen ⁡ 2 x   d x           = s e n   2 x . ( - 1 2   e - 2 x ) -   ∫ ( - 1 2   . e - 2 x ) . ( c o s   2 x ) . 2   d x          

= - e - 2 x 2 . s e n   2 x - - 1 .   ∫ e - 2 x . ( c o s   2 x )   d x          

= - e - 2 x 2 . s e n   2 x +   ∫ e - 2 x . ( c o s   2 x )   d x          

Para poder resolver ∫ e - 2 x . ( c o s   2 x )   d x           utilizamos novamente o método da integração por partes:

w   =   c o s   2 x    

d z   =   e - 2 x   . d x

d w   =   ( c o s   2 x ) ’   d x  

z = ∫ e - 2 x     d x

d w   =   -   s e n   2 x . 2   d x  

  z   = - 1 2   e - 2 x

∫ w   d z = w . z -   ∫ z   d w

∫ e - 2 x . ( c o s   2 x )   d x   = c o s   2 x   .   ( - 1 2   e - 2 x ) -   ∫ - 1 2   e - 2 x   . -   s e n   2 x . 2   d x

= - e - 2 x 2 . c o s   2 x   -   ∫   e - 2 x   .   s e n   2 x   d x

Iremos substituir desse modo para facilitar os cálculos:

∫ e - 2 x . sen ⁡ 2 x   d x         = - e - 2 x 2 . s e n   2 x +   ∫ e - 2 x . ( c o s   2 x )   d x          

∫ e - 2 x . sen ⁡ 2 x   d x         = - e - 2 x 2 . s e n   2 x +   - e - 2 x 2 . c o s   2 x   -   ∫   e - 2 x   .   s e n   2 x   d x

∫ e - 2 x . sen ⁡ 2 x   d x         = - e - 2 x 2 . s e n   2 x -   e - 2 x 2 . c o s   2 x   -   ∫   e - 2 x   .   s e n   2 x   d x

∫   e - 2 x   .   s e n   2 x   d x + ∫   e - 2 x   .   s e n   2 x   d x = - e - 2 x 2 . s e n   2 x -   e - 2 x 2 . c o s   2 x  

2 . ∫   e - 2 x   .   s e n   2 x   d x = - e 2 x 2 . s e n   2 x -   e - 2 x 2 . c o s   2 x  

∫   e - 2 x   .   s e n   2 x   d x = -   e - 2 x . ( s e n   2 x + c o s   2 x ) 4 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫   e - 2 x   .   s e n   2 x   d x = -   e - 2 x . ( s e n   2 x + c o s   2 x ) 4 + c

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