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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 66

Calcule a integral

int_2^3 (u^3 + 1)/(u^3 - u^2) d u

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

int_2^3 (u^3 + 1)/(u^3 - u^2) d u = int_2^3 [1 + (u^2 + 1)/((u - 1) u^2)] d u

Reescrevendo novamente a expressão obtida, temos

int_2^3 [1 + (u^2 + 1)/((u - 1) u^2)] d u = int_2^3 [1 + (2)/(u - 1) - (1)/(u) - (1)/(u^2)] d u

Passo 3

Integrando a expressão simplificada, temos

int_2^3 [1 + (2)/(u - 1) - (1)/(u) - (1)/(u^2)] d u = [u + 2 ln (u - 1) - ln u + (1)/(u)]_2^3

Substituindo o intervalo de integração, temos

[u + 2 ln (u - 1) - ln u + (1)/(u)]_2^3 = 1 + 3 ln 2 - ln 3 - (1)/(6)

Resposta

int_2^3 (u^3 + 1)/(u^3 - u^2) d u = (5)/(6) + ln (8)/(3)

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