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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 6d

  Com uma conveniente mudança de variével, transforme a integral dada numa do tipo

b)

∫ 3 x - 2 x 2 + x + 1 d x

Passo 1

Basta transformar a integral dada em uma do tipo

∫ m u + n 1 + u 2 d u = m 2 ln ⁡ 1 + u 2 + n   a r c   t g   u + k

Passo 2

Aqui vamos começar completando o quadrado do denominador

∫ 3 x - 2 x 2 + x + 1 - 3 4 + 3 4 d x

∫ 3 x - 2 3 4 + x + 1 2 2 d x

Agora pondo 3 4 em evidencia no denominador

3 4 ∫ 3 x - 2 1 + 4 3 x + 4 3 1 2 2 d x

Agora fazendo a substituição

u = 4 3 x + 4 3 1 2

3 4 ∫ 3 ( 3 4 u - 4 3 1 2 ) - 2 1 + u 2 d x =   3 4 ∫ 3 3 4 u - 4 1 + u 2 d x

Ficamos com

Onde m = 3 3 4 e n = - 4

Passo 3

E substituindo na equação da integral, temos

∫ m u + n 1 + u 2 d u = 3 4 ( 3 3 4 2 ln ⁡ 1 + u 2 - 4   a r c   t g   u + k )  

E u = 4 3 x + 4 3 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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