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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 6e

  Com uma conveniente mudança de variével, transforme a integral dada numa do tipo

b)

∫ 2 x + 1 x 2 + 4 x + 5 d x

Passo 1

Basta transformar a integral dada em uma do tipo

∫ m u + n 1 + u 2 d u = m 2 ln ⁡ 1 + u 2 + n   a r c   t g   u + k

Passo 2

Aqui vamos começar completando o quadrado do denominador

∫ 2 x + 1 x 2 + 4 x + 5 - 1 + 1 d x = ∫ 2 x + 1 x + 2 2 + 1 d x

Agora fazendo a substituição

u = x + 2 → x = u - 2

∫ 2 ( u - 2 ) + 1 u 2 + 1 d x = ∫ 2 u - 3 u 2 + 1 d x

Ficamos com

Onde m = 2 e n = - 3

Passo 3

E substituindo na equação da integral, temos

∫ m u + n 1 + u 2 d u = 2 2 ln ⁡ 1 + u 2 - 3   a r c   t g   u + k  

E u = x + 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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