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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4m

Calcule

m) int x ( a r c t g x ) ² d x

Passo 1

Temos que calcular a integral do item m

Passo 2

Para começar temos que fazer uma mudança de variavel

int x ( a r c t g x ) ² d x

u = a r c t g ( x )

d u = (1)/(1 + x^2) d x -> (1 + x^2) d u = d x

t g (u) = x

E ficamos com

int u^2 t g (u) sec^2 u

Passo 3

Agora vamos fazer uma integral por partes

int u^2 t g (u) sec^2 u

Onde,

g = u^2

g^' = 2 u

f^' = t g (u) sec^2 u

f = (sec^2 u)/(2)

Onde

int g f^' = g f - int g ' f

Ficamos com

int u^2 t g (u) sec^2 u d u = (1)/(2) u^2 sec^2 u - int u sec^2 u d u

E fazemos a integral por partes de novo

g = u

g^' = 1

f^' = sec^2 u

f = t g u

Então fazendo apenas para

int u sec^2 u d u = u t g u - int t g u d u = u t g u - l n ( sec u )

Agota temos

int u^2 t g (u) sec^2 u d u = (1)/(2) u^2 sec^2 u - u t g u + l n ( sec u )

Agora desfazendo a substituição

u = a r c t g ( x )

t g (u) = x

sec u = (1 + x^2)

int u^2 t g (u) sec^2 u d u = (1)/(2) a r c t g ( x )^2 ( 1 + x^2 )^2 - x a r c t g x + l n ( 1 + x^2 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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