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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 37

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pelas curvas y = 9 x 2 + 9 , y = 0 , x = 0 e x = 3

Passo 1

Vamos usar discos sobre o eixo x ,

V = ∫ 0 3   π 9 x 2 + 9 2 d x   = 81   ∫ 0 3 1 x 2 + 9 2   d x  

Para resolver a integral , façamos

x = 3   t g   θ             d x = 3 sec 2 ⁡ θ   d θ

Mudando os limites de integração,

x = 0 ⇒ θ = 0  

E,

x = 3 ⇒ θ = π 4

Sendo assim,

V = 81   π ∫ 0 π 4 1 9 sec 2 ⁡ θ 2 ⋅ 3 sec 2 ⁡ θ   d θ = 3 π   ∫ 0 π 4 cos 2 ⁡ θ   d θ = 3 π ∫ 0 π 4 1 2   1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Resolvendo a integral,

3 π ∫ 0 π 4 1 2   1 + cos ⁡ 2 θ d θ = 3 π 2 θ + 1 2 s e n   2 θ 0 π 4 3 π 2   π 4 + 1 2 - 0 = 3 8 π 2 + 3 4 π

Resposta

∫ 0 3   π 9 x 2 + 9 2 d x   =   3 8 π 2 + 3 4 π  

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