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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 37

Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.

∫ cos ⁡ x   d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral dada fazendo primeiro uma substituição e em seguida tentando uma integração por partes.

Neste caso, vamos tentar uma substituição do tipo t = x , assim

d t = 1 2 x d x   ⇒ d x = 2 x   d t = 2   t   d t

Assim, a integral ficará:

∫ cos ⁡ x   d x = 2   ∫ t cos ⁡ u   d t

Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Queremos resolver a integral

∫ t cos ⁡ t   d t

Vamos tomar u = t e d v = cos ⁡ u . Assim, d u = d t e v = s e n   t . Desta forma,

∫ t cos ⁡ t   d t = t   s e n   t - ∫ s e n   t   d t = t   s e n   t + cos ⁡ t + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

∫ cos ⁡ x   d x = 2   x   s e n   x + 2  cos ⁡ x + C

Resposta

2   x   s e n   x + 2  cos ⁡ x + C

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