Calcule a integral.

∫ 0 1 x 2 + 1   e - x   d x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:

∫ 0 1 x 2 + 1   e - x   d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Vamos tomar u = x 2 + 1 e d v = e - x d x . Assim, temos que d u = 2 x   d x e v = - e - x .

Desta forma, a integral é dada por

∫ 0 1 x 2 + 1   e - x   d x = - x 2 + 1 e - x 0 1 - ∫ 0 1 - e - x   2 x   d x

Substituindo os limites de integração no primeiro termo:

∫ 0 1 x 2 + 1   e - x   d x = - 2 e - 1 + 1 e 0 + 2 ∫ 0 1 x   e - x   d x = 1 - 2 e + 2 ∫ 0 1 x   e - x   d x

Passo 2

Observe que quando integramos por partes o que fazemos no fundo é trocar uma integral complicada por uma simples. Para calcular a nova integral, usaremos partes novamente com u = x e d v = e - x d x . Assim, d u = d x e v = - e - x , de modo que

∫ 0 1 x   e - x   d x = - x e - x 0 1 - ∫ 0 1 - e - x   d x = - e - 1 + ∫ 0 1 e - x d x

Efetuando a última integral:

∫ 0 1 x   e - x   d x = - 1 e - e - x 0 1 = - 1 e - e - 1 + e 0 = - 2 e + 1

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no passo 1:

∫ 0 1 x 2 + 1   e - x   d x = 1 - 2 e + 2 1 - 2 e = 1 - 2 e + 2 - 4 e = 3 - 6 e

Resposta

3 - 6 e

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