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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 24

Calcule a integral.

int_0^1 (x^2 + 1) e^(- x) d x

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:

int_0^1 (x^2 + 1) e^(- x) d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

int u d v = u v - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Vamos tomar u = x^2 + 1 e d v = e^(- x) d x . Assim, temos que d u = 2 x d x e v = - e^(- x) .

Desta forma, a integral é dada por

int_0^1 (x^2 + 1) e^(- x) d x = [- (x^2 + 1) e^(- x)]_0^1 - int_0^1 (- e^(- x)) 2 x d x

Substituindo os limites de integração no primeiro termo:

int_0^1 (x^2 + 1) e^(- x) d x = - 2 e^(- 1) + 1 e^0 + 2 int_0^1 x e^(- x) d x = 1 - (2)/(e) + 2 int_0^1 x e^(- x) d x

Passo 2

Observe que quando integramos por partes o que fazemos no fundo é trocar uma integral complicada por uma simples. Para calcular a nova integral, usaremos partes novamente com u = x e d v = e^(- x) d x . Assim, d u = d x e v = - e^(- x) , de modo que

int_0^1 x e^(- x) d x = [- x e^(- x)]_0^1 - int_0^1 (- e^(- x)) d x = - e^(- 1) + int_0^1 e^(- x) d x

Efetuando a última integral:

int_0^1 x e^(- x) d x = - (1)/(e) - [e^(- x)]_0^1 = - (1)/(e) - e^(- 1) + e^0 = - (2)/(e) + 1

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no passo 1:

int_0^1 (x^2 + 1) e^(- x) d x = 1 - (2)/(e) + 2 (1 - (2)/(e)) = 1 - (2)/(e) + 2 - (4)/(e) = 3 - (6)/(e)

Resposta

3 - (6)/(e)

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