Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 73
Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegado lá as 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas da noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.
Passo 1
Bom, galera.
Esse exercício fala que existe monge deixa o monastério às 7 horas da manhã e caminha para o topo da montanha, chegado lá as 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas da noite.
Ou seja, ele vai num dia e volta no outro usando o mesmo caminho. Beleza?
A questão pede pra gente usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto onde a ida e a volta do monge ocorrem no mesmo horário do dia.
O Teorema diz o seguinte:
Se tivermos uma função contínua um intervalo , e um número qualquer entre e , em que . Então existe um número em tal que .
Ou seja, temos que encontrar esse valor de
Passo 2
Seja uma função do tempo que represente a distância do monge em relação ao monastério no primeiro dia.
Seja D a distância do monastério até o topo da montanha e seja uma função do tempo que represente a distância do monge em relação ao monastério no segundo dia.
Sabemos que
E
E
Agora seja a função
que representa a diferença entre a distância do monge em relação ao monastério no primeiro dia e a distância do monge em relação ao monastério no segundo dia.
Passo 3
Podemos calcular
sendo o tempo inicial da contagem,
e
sendo o tempo passado entre os deslocamentos.
Então, pelo teorema do valor intermediário, há um valor tal que
E, se
como
então:
Ou seja, posições iguais, no mesmo tempo!
Dessa forma, no horário , o monge passa pelo mesmo ponto na ida e na volta.
Resposta
Explicação no passo a passo.