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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 18

Calcule a integral.

int c o t g^5 theta s e n^4 theta d theta

Passo 1

Em integrais assim, geralmente é sempre bom deixar tudo em termos de senos e cossenos. Como c o t g theta = cos theta // s e n theta , temos que

int c o t g^5 theta s e n^4 theta d theta = int (cos^5 theta)/(s e n^5 theta) * s e n^4 theta d theta = int (cos^5 theta)/(s e n theta) d theta

Como o expoente do cosseno é ímpar, vamos separá-lo: cos^5 theta = (1 - s e n^2 theta)^2 cos theta . Assim,

int c o t g^5 theta s e n^4 theta d theta = int ((1 - s e n^2 theta)^2)/(s e n theta) cos theta d theta

Fazendo u = sen theta , temos que d u = cos theta d theta .

Passo 2

Fazendo a mudança de variável:

int c o t g^5 theta s e n^4 theta d theta = int ((1 - u^2)^2)/(u) d u = int ((1)/(u) - 2 u + u^3) d u = ln | u | - u^2 + (u^4)/(4) + C

Passo 3

Voltando para a variável original:

int c o t g^5 theta s e n^4 theta d theta = ln | s e n theta | - s e n^2 theta + (1)/(4) s e n^4 theta + C

Resposta

ln | s e n theta | - s e n^2 theta + (1)/(4) s e n^4 theta + C

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