Use a fórmula de redução do Exemplo 6 para mostrar que ∫ 0 �� 2 sen n ⁡ x d x = n - 1 n ∫ 0 π 2 sen n - 2 ⁡ x d x �� Use a parte (a) para calcular ∫ 0 π 2 sen 3 ⁡ x d x e ∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ x d x .Use a parte (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno, ∫ 0 π 2 sen 2 n + 1 ⁡ x d x = 2 * 4 * 6 * … * 2 n 3 * 5 * 7 * … * 2 n + 1

Demonstração ∫ 0 π 2 sen 3 ⁡ x d x = 2 3 ∫ 0 π 2 sen 5 ⁡ x d x = 8 15 Demonstração

Enunciado

Opa, bora fazer essa questãozinha! Aqui temos que demonstrar a seguinte igualdade:

Pra isso a gente vai usar o exemplo 6, onde temos:

Então:

Chegamos em:

Prontinho! A letra (a) foi!

Pra a letra (b) a gente tem que calcular

Usando na parte (a) nós teremos:

Agora a gente vai usar a letra (a) para mostrar que, para as potências ímpares de seno, temos:

A fórmula serve para , que é , como vimos naletra (b). Assumindo que ela serve para alguma , então

Pelo Exemplo 6, teremos que :

Assim, confirmamos que a fórmula serve para . Por indução, dá pra perceber que a fórmula serve pra qualquer .