Calcule a integral.

∫ s e n 3 ( x ) x   d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Precisamos integrar a função dada, sei que parece difícil, mas eu e você iremos conseguir.

Primeiro, vamos tentar sumir com a raiz quadrada fazendo t = x .

Passo 2

Com a substituição ficamos com,

d t = 1 2   x   d x   ⇒ 1 x   d x = 2   d t

Assim, com a mudança de variável, a integral fica:

∫ s e n 3 x x   d x = 2   ∫ s e n 3 t   d t

= 2   ∫ s e n 2 t   s e n   t   d t

Como s e n 2 t = 1 - cos 2 ⁡ t , a integral fica:

∫ s e n 3 ( x ) x   d x = 2   ∫ 1 - cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t

Passo 3

A derivada do cosseno é menos seno, de modo que se u = cos ⁡ t , então d u = - s e n   t   d t . Assim, a integral fica

∫ s e n 3 x x   d x = 2   ∫ 1 - u 2   - d u

= 2 ∫ u 2 - 1   d u

Passo 4

Calculando a integral:

∫ s e n 3 ( x ) x   d x = 2 3 u 3 - 2 u + C

Voltando a variável original com u = cos ⁡ ( x ) :

∫ s e n 3 ( x ) x   d x = 2 3 cos 3 ⁡ ( x ) - 2 cos ⁡ x + C

Resposta

2 3 cos 3 ⁡ ( x ) - 2 cos ⁡ x + C

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