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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 6

Calcule a integral.

int (s e n^3 ( sqrt(x) ))/(sqrt(x)) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Precisamos integrar a função dada, sei que parece difícil, mas eu e você iremos conseguir.

Primeiro, vamos tentar sumir com a raiz quadrada fazendo t = sqrt(x) .

Passo 2

Com a substituição ficamos com,

d t = (1)/(2 sqrt(x)) d x => (1)/(sqrt(x)) d x = 2 d t

Assim, com a mudança de variável, a integral fica:

int (s e n^3 (sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = 2 int s e n^3 t d t

= 2 int s e n^2 t s e n t d t

Como s e n^2 t = 1 - cos^2 t , a integral fica:

int (s e n^3 ( sqrt(x) ))/(sqrt(x)) d x = 2 int (1 - cos^2 t) s e n t d t

Passo 3

A derivada do cosseno é menos seno, de modo que se u = cos t , então d u = - s e n t d t . Assim, a integral fica

int (s e n^3 (sqrt(x)))/(sqrt(x)) d x = 2 int (1 - u^2) (- d u)

= 2 int (u^2 - 1) d u

Passo 4

Calculando a integral:

int (s e n^3 ( sqrt(x) ))/(sqrt(x)) d x = (2)/(3) u^3 - 2 u + C

Voltando a variável original com u = cos ( sqrt(x) ) :

int (s e n^3 ( sqrt(x) ))/(sqrt(x)) d x = (2)/(3) cos^3 ( sqrt(x) ) - 2 cos (sqrt(x)) + C

Resposta

(2)/(3) cos^3 ( sqrt(x) ) - 2 cos (sqrt(x)) + C

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