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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 23

Calcule a integral.

int t g^2 x d x

Passo 1

Queremos calcular a primitiva de t g^2 x . Eu sei que você já deve estar tentando usar senos e cossenos, mas não precisa de tudo isso, é mais simples do que parece. Vamos lembrar que 1 + t g^2 x = sec^2 x . Assim, temos que t g^2 x = sec^2 x - 1 . Substituindo isso na integral:

int t g^2 x d x = int (sec^2 x - 1) d x

Passo 2

Sabemos que a derivada da tangente é secante ao quadrado, assim

int sec^2 x d x = t g x

Desta forma,

int t g^2 x d x = int sec^2 x d x - int d x = t g x - x + C

Resposta

t g x - x + C

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