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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 16

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 3 x x 4 + 6 x + 5   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 3 x x 4 + 6 x 2 + 5   d x

No teorema 9.8.4 desta seção do livro, é dado que

∫ 1 u 2 - a 2   d u = cosh - 1 ⁡ u a + C = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Precisamos adaptar a integral que queremos calcular para usar essa expressão! Vamos fazer primeiro a substituição t = x 2 , de modo que d t = 2 x   d x . Assim podemos eliminar o x do numerador:

I = 3 2 ∫ 1 t 2 + 6 t + 5   d t

Agora precisamos completar quadrado no denominador:

t 2 + 6 t + 5 = t 2 + 6 t + 9 - 9 + 5 = t + 3 2 - 4

Assim,

I = 3 2 ∫ 1 t + 3 2 - 4   d t

Fazendo u = t + 3 :

I = 3 2 ∫ 1 u 2 - 4   d t

Passo 2

Portanto, usando a fórmula do teorema 9.8.4 com a = 2 :

I = 3 2 cosh - 1 ⁡ u 2 + C = 3 2 ln ⁡ u + u 2 - 4 + C

Além disso, temos que u = t + 3 = x 2 + 3 . Assim,

I = 3 2 cosh - 1 ⁡ x 2 + 3 2 + C = 3 2 ln ⁡ x 2 + 3 + x 4 + 6 x 2 + 5 + C

Resposta

3 2 cosh - 1 ⁡ x 2 + 3 2 + C = 3 2 ln ⁡ x 2 + 3 + x 4 + 6 x 2 + 5 + C

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Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique se sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0 ). ∫ t g 2 x sec 2 ⁡ xd x