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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 2

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 4 x 2 - 9   d x

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 4 x 2 - 9   d x

No teorema 9.8.4 desta seção do livro, é dado que

∫ 1 u 2 - a 2   d u = cosh - 1 ⁡ u a + C = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Precisamos adaptar a integral que queremos calcular para usar essa expressão!

Passo 2

Note que

I = ∫ 1 2 x 2 - 9   d x

Assim, fazendo u = 2 x , temos que d u = 2   d x , de modo que

I = 1 2 ∫ 1 u 2 - 9   d u

Agora a integral que sobrou é exatamente a integral da fórmula com a = 3 :

I = 1 2 cosh - 1 ⁡ u 3 + C = 1 2 ln ⁡ u + u 2 - 9 + C

Voltando para variável x :

I = 1 2 cosh - 1 ⁡ 2 x 3 + C = 1 2 ln ⁡ 2 x + 4 x 2 - 9 + C

Se você não quiser decorar essas fórmulas, você poderia resolver a integral fazendo a substituição trigonométrica u = 3 sec ⁡ θ .

Resposta

1 2 cosh - 1 ⁡ 2 x 3 + C = 1 2 ln ⁡ 2 x + 4 x 2 - 9 + C

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