A região limitada pela curva , pelo eixo e pelas retas e gira em torno do eixo . Mostre que o volume do sólido gerado é
Passo 1
A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo da região abaixo da curva
limitada pelas retas verticais e . Neste caso, o volume do sólido de revolução é dado pela integral
Portanto,
Para calcular essa integral poderíamos usar a técnica das frações parciais, mas a ideia desta seção é usar fórmulas prontas que envolvem as funções hiperbólicas inversas apresentadas no teorema 9.8.4:
Passo 2
Usando essa expressão com , vemos que tanto em como em , temos que . Assim, devemos usar a expressão que envolve :
Portanto,
Assim,
Resposta
Demonstração.