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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 27

A região limitada pela curva y = 16 - x 2 - 1 / 2 , pelo eixo x e pelas retas x = - 2 e x = 3 gira em torno do eixo x . Mostre que o volume do sólido gerado é

V = 1 4 π   tanh - 1 ⁡ 3 4 - tanh - 1 ⁡ - 1 2

Passo 1

A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x , da região abaixo da curva

y = 1 16 - x 2 ,

limitada pelas retas verticais x = - 2 e x = 3 . Neste caso, o volume do sólido de revolução é dado pela integral

V = ∫ - 2 3 π y 2   d x

Portanto,

V = π ∫ - 2 3 1 16 - x 2   d x

Para calcular essa integral poderíamos usar a técnica das frações parciais, mas a ideia desta seção é usar fórmulas prontas que envolvem as funções hiperbólicas inversas apresentadas no teorema 9.8.4:

∫ 1 a 2 - u 2   d u = 1 a tanh - 1 ⁡ u a + C ,         s e   u < a 1 a c o t a n h - 1 u a + C ,         s e   u > a  

Passo 2

Usando essa expressão com a = 4 , vemos que tanto em x = - 2 como em x = 3 , temos que x < 4 . Assim, devemos usar a expressão que envolve tanh - 1 ⁡ u a :

V = π   1 4 tanh - 1 ⁡ x 4 - 2 3

Portanto,

V = 1 4 π tanh - 1 ⁡ 3 4 - tanh - 1 ⁡ - 2 4

Assim,

V = 1 4 π   tanh - 1 ⁡ 3 4 - tanh - 1 ⁡ - 1 2

Resposta

Demonstração.

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Calcule a integral. ∫ s e n 3 x cos ⁡ xd x
(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que: ∫ s e n ²x . d x = x 2 - s e n2 x 4 + C ² (b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular ∫ s e n 4x . d x .