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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 21

Calcule a integral definida e expresse a resposta em termos de um logaritmo natural.

∫ 2 3 1 9 x 2 - 12 x - 5   d x

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral definida e expressar a resposta em termos de um logaritmo natural. Note que essa é uma clássica integral que pode ser resolvida usando alguma substituição trigonométrica. Todavia, a ideia do capítulo é que você use fórmulas prontas para calcular as integrais. Essas fórmulas prontas estão no teorema 9.8.4 desta seção do livro.

Mas antes de irmos atrás de uma fórmula para resolver a integral, vamos brincar um pouco com ela completando quadrados:

9 x 2 - 12 x - 5 = 9 x 2 - 12 x + 4 - 4 - 5 = 3 x - 2 2 - 9

Assim,

I = ∫ 2 3 1 9 x 2 - 12 x - 5   d x = ∫ 2 3 1 3 x - 2 2 - 9   d x

Agora vamos fazer a substituição u = 3 x - 2 . Logo, d u = 3   d x . Além disso, para x = 2 , temos u = 4 e para x = 3 , u = 7 :

I = 1 3 ∫ 4 7 1 u 2 - 9   d u

Passo 2

No teorema 9.8.4 encontramos a fórmula necessária para resolver essa integral:

∫ 1 u 2 - a 2   d u = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Portanto, com a = 3 :

I = 1 3 ∫ 4 7 1 u 2 - 9   d u = 1 3 ln ⁡ u + u 2 - 9 4 7

Logo,

I = 1 3 ln ⁡ 7 + 40 - ln ⁡ 4 + 7

Portanto,

I = 1 3 ln ⁡ 7 + 2 10 4 + 7

Resposta

1 3 ln ⁡ 7 + 2 10 4 + 7

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