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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 14

Expresse a integral indefinida em termos de uma função hiperbólica inversa e como um logaritmo natural.

∫ 1 9 z 2 - 6 z - 8   d z

Passo 1

A questão pede para expressarmos a integral em termos de funções hiperbólicas. Note que não é pedido para calcularmos a integral, devemos apenas expressar o resultado em termos das funções hiperbólicas. Para isso, você precisa dar uma olhada no teorema 9.8.4.

Neste caso, temos

I = ∫ 1 9 z 2 - 6 z - 8   d z

No teorema 9.8.4 desta seção do livro, é dado que

∫ 1 u 2 - a 2   d u = cosh - 1 ⁡ u a + C = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Antes de usarmos essa fórmula, precisamos adaptar a integral. Para isso, note que podemos completar quadrados:

9 z 2 - 6 z - 8 = 9 z 2 - 6 z + 1 - 1 - 8 = 3 z - 1 2 - 9

Assim,

I = ∫ 1 3 z - 1 2 - 9   d z

Fazendo a mudança de variável u = 3 z - 1 , temos d u = 3   d z , de modo que

I = 1 3 ∫ 1 u 2 - 9   d u

Passo 2

Essa é exatamente a expressão da fórmula com a = 3 . Desta forma,

I = 1 3 cosh - 1 ⁡ u 3 + C = 1 3 ln ⁡ u + u 2 - 9 + C

Lembrando que u = 3 z - 1 , chegamos em

I = 1 3 cosh - 1 ⁡ 3 z - 1 3 + C = 1 3 ln ⁡ 3 z - 1 + 9 z 2 - 6 z - 8 + C

Resposta

1 3 cosh - 1 ⁡ 3 z - 1 3 + C = 1 3 ln ⁡ 3 z - 1 + 9 z 2 - 6 z - 8 + C

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