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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 21

Calcule a integral.

∫ 0 2 6 x 2 - 4 x + 5 d x

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos que resolver a seguinte integral:

∫ 0 2 6 x 2 - 4 x + 5 d x

Para isso, vamos usar a propriedade de que a integra da soma/subtração é a soma/subtração de integrais:

∫ f x ± g x d x = ∫ f x d x ± ∫ g x d x

E também vamos usar a propriedade de que uma constante pode sair da integral:

∫ C f x d x = C ∫ f x d x

E para resolver cada integral vamos usar a ideia de antiderivada.

Aqui temos a potência de x , e a regra da antiderivada para a potência de x é:

x n = x n + 1 n + 1 '

Vamos ter também uma constante. A regra da antiderivada para a constante é:

C = C x '

E como temos uma integral definida, teremos que substituir os limites de integração no final, fazendo:

∫ a b f x d x = F x | b a = F b - F ( a )

Passo 2

Primeiramente vamos abrir nossa integral em 3 integrais:

∫ 0 2 6 x 2 - 4 x + 5 d x = ∫ 0 2 6 x 2 d x - ∫ 0 2 4 x d x + ∫ 0 2 5 d x

Tirando as constantes, teremos:

= 6 ∫ 0 2 x 2 d x - 4 ∫ 0 2 x d x + ∫ 0 2 5 d x

E resolvendo pela antiderivada da potência de x e da constante teremos:

6 x 3 3 - 4 x 2 2 + 5 x

2 x 3 - 2 x 2 + 5 x

Passo 3

Então, pelo teorema fundamental do cálculo, devemos substituir os limites de integração:

∫ 0 2 6 x 2 - 4 x + 5 d x = 2 x 3 - 2 x 2 + 5 x 2 0

2 2 3 - 2 2 2 + 5 2 - 2 0 3 - 2 0 2 + 5 0

= 2 2 3 - 2 2 2 + 5 2

= 16 - 8 + 10

Logo, teremos portanto:

∫ 0 2 6 x 2 - 4 x + 5 d x = 18

Resposta

∫ 0 2 6 x 2 - 4 x + 5 d x = 18

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