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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 21

Calcule a integral indefinida:

int sen 3 y cos 5 y d y

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de seno e cosseno com argumentos diferentes. Para resolver esse tipo de questão presisamos separar esse produto, ok? Vamos usar a relação:

sen a cos b = (sen ( a + b ) + sen ( a - b ))/(2)

No nosso caso, a = 3 y e b = 5 y , ficamos então com:

int sen 3 y cos 5 y d y = int (sen ( 3 y + 5 y ) + sen ( 3 y - 5 y ))/(2) d y

= (1)/(2) int [sen 8 y + sen (- 2 y)] d y

Pronto! Agora podemos resolver.

Passo 2

Para resolver essa integral vamos precisar saber:

int sen alpha y d y = - (cos alpha y)/(alpha) + C alpha != 0

Separando em duas integrais, nós ficamos com:

int sen 3 y cos 5 y d y = (1)/(2) [int sen 8 y d y + int sen (- 2 y) d y]

Aqui vamos usar que sen ( - 2 y ) = - sen ( 2 y ) . Então:

(1)/(2) [int sen 8 y d y + int sen (- 2 y) d y] = (1)/(2) [int sen 8 y d y - int sen (2 y) d y]

= (1)/(2) (- (cos 8 y)/(8) - (- (cos 2 y)/(2))) + C = (1)/(2) ((cos 2 y)/(2) - (cos 8 y)/(8)) + C

Não se esqueça da constante no final.

Resposta

int sen 3 y cos 5 y d y = (1)/(2) ((cos 2 y)/(2) - (cos 8 y)/(8)) + C

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