Calcule a integral indefinida:

∫ sen ⁡ 3 y cos ⁡ 5 y d y

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de seno e cosseno com argumentos diferentes. Para resolver esse tipo de questão presisamos separar esse produto, ok? Vamos usar a relação:

sen ⁡ a cos ⁡ b = sen ⁡ ( a + b ) + sen ⁡ ( a - b ) 2

No nosso caso, a = 3 y e b = 5 y , ficamos então com:

∫ sen ⁡ 3 y cos ⁡ 5 y d y = ∫ sen ⁡ ( 3 y + 5 y ) + sen ⁡ ( 3 y - 5 y ) 2 d y

= 1 2 ∫ sen ⁡ 8 y + sen ⁡ - 2 y d y

Pronto! Agora podemos resolver.

Passo 2

Para resolver essa integral vamos precisar saber:

∫ sen ⁡ α y d y = - cos ⁡ α y α + C             α ≠ 0

Separando em duas integrais, nós ficamos com:

∫ sen ⁡ 3 y cos ⁡ 5 y d y = 1 2 ∫ sen ⁡ 8 y d y + ∫ sen ⁡ - 2 y d y

Aqui vamos usar que sen ⁡ ( - 2 y ) = - sen ⁡ ( 2 y ) . Então:

1 2 ∫ sen ⁡ 8 y d y + ∫ sen ⁡ - 2 y d y = 1 2 ∫ sen ⁡ 8 y d y - ∫ sen ⁡ 2 y d y

= 1 2 - cos ⁡ 8 y 8 - - cos ⁡ 2 y 2 + C = 1 2 cos ⁡ 2 y 2 - cos ⁡ 8 y 8 + C

Não se esqueça da constante no final.

Resposta

∫ sen ⁡ 3 y cos ⁡ 5 y d y = 1 2 cos ⁡ 2 y 2 - cos ⁡ 8 y 8 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados