Calcule a integral indefinida:

∫ sen ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de seno e cosseno com argumentos diferentes. Para resolver esse tipo de questão presisamos separar esse produto, ok? Vamos usar a relação:

sen ⁡ a cos ⁡ b = sen ⁡ ( a + b ) + sen ⁡ ( a - b ) 2

No nosso caso, a = 2 x e b = 4 x , ficamos então com:

∫ sen ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x d x = ∫ sen ⁡ ( 2 x + 4 x ) + sen ⁡ ( 2 x - 4 x ) 2 d x

= 1 2 ∫ sen ⁡ 6 x + sen ⁡ - 2 x d x

Pronto! Agora podemos resolver.

Passo 2

Para resolver essa integral vamos precisar saber:

∫ sen ⁡ α x d x = - cos ⁡ α x α + C             α ≠ 0

Separando em duas integrais, nós ficamos com:

∫ sen ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x d x = 1 2 ∫ sen ⁡ 6 x d x + ∫ sen ⁡ - 2 x d x

Aqui vamos usar que sen ⁡ ( - 2 x ) = - sen ⁡ ( 2 x ) . Então:

1 2 ∫ sen ⁡ 6 x d x + ∫ sen ⁡ - 2 x d x = 1 2 ∫ sen ⁡ 6 x d x - ∫ sen ⁡ 2 x d x

= 1 2 - cos ⁡ 6 x 6 - - cos ⁡ 2 x 2 + C = 1 2 cos ⁡ 2 x 2 - cos ⁡ 6 x 6 + C

Não se esqueça da constante no final.

Resposta

∫ sen ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x d x = 1 2 cos ⁡ 2 x 2 - cos ⁡ 6 x 6 + C

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