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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 18

Calcule a integral.

int (e^(2 t))/(1 + e^(4 t)) d t

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma exponencial tanto no denominador quanto no numerador, podemos tentar fazer com que u seja a exponencial do numerador, e a do denominador dá pra deixar de uma forma parecida com a do numerador, vamos lá:

int (e^(2 t))/(1 + e^(4 t)) d t = int (e^(2 t))/(1 + (e^(2 t))^2) d t

Vamos fazer a mudança de variável:

u = e^(2 t)

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = e^(2 t) . 2 d t = 2 e^(2 t) d t -> e^(2 t) d t = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (e^(2 t))/(1 + (e^(2 t))^2) d t = int (e^(2 t))/(1 + (e^(2 t))^2) d t = int (1)/(2 (1 + u^2)) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (d x)/(x^2 + a^2) = (1)/(a) tg^(- 1) ((x)/(a))

Então ficamos com:

int (1)/(2 (1 + u^2)) d u = (1)/(2) int (1)/(1 + u^2) d u = (1)/(2) * (1)/(1) tg^(- 1) ((u)/(1)) + C = (1)/(2) tg^(- 1) (u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = e^(2 t) :

int ((1)/(2))/(1 + u^2) d u = (1)/(2) tg^(- 1) (u) + C = (1)/(2) tg^(- 1) (e^(2 t)) + C

Resposta

int (e^(2 t))/(1 + e^(4 t)) d t = (1)/(2) tg^(- 1) (e^(2 t)) + C

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