Calcule a integral.

∫ e 2 t 1 + e 4 t d t

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma exponencial tanto no denominador quanto no numerador, podemos tentar fazer com que u seja a exponencial do numerador, e a do denominador dá pra deixar de uma forma parecida com a do numerador, vamos lá:

∫ e 2 t 1 + e 4 t d t = ∫ e 2 t 1 + e 2 t 2 d t

Vamos fazer a mudança de variável:

u = e 2 t

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = e 2 t . 2   d t = 2 e 2 t   d t → e 2 t   d t = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ e 2 t 1 + e 2 t 2 d t = ∫ e 2 t 1 + e 2 t 2 d t = ∫ 1 2 1 + u 2 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a tg - 1 ⁡ x a

Então ficamos com:

∫ 1 2 1 + u 2 d u = 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 2 ∙ 1 1 tg - 1 ⁡ u 1 + C = 1 2 tg - 1 ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável t , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = e 2 t :

∫ 1 2 1 + u 2 d u = 1 2 tg - 1 ⁡ u + C = 1 2 tg - 1 ⁡ e 2 t + C

Resposta

∫ e 2 t 1 + e 4 t d t = 1 2 tg - 1 ⁡ e 2 t + C

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