Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 30

Calcule a integral.

int_(- 2)^2 |x^2 - 4 x| d x

Passo 1

Eita, aqui temos um módulo, mas calma, temos apenas que analisar a expressão dentro dele:

x^2 - 4 x = x (x - 4) = 0

Temos que:

x = 0 e x = 4

Vemos que x^2 - 4 x é menor que 0 no intervalo [0,4] , assim a função fica - (x^2 - 4) nesse intervalo, e no intervalo de [- 2,0] fica x^2 - 4 , assim vamos separar a integral em duas, usando a propriedade:

int_a^b f (x) d x = int_a^c f (x) d x + int_c^b f (x) d x

Ficando assim:

int_(- 2)^2 |x^2 - 4 x| d x = int_(- 2)^0 x^2 - 4 x d x + int_0^2 - (x^2 - 4 x) d x = int_(- 2)^0 x^2 - 4 x d x + int_0^2 - x^2 + 4 x d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessas integrais vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

int x^2 - 4 x d x + int - x^2 + 4 x d x

É fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

int c f (x) d x = c int f (x) d x

Então ficamos com:

int x^2 - 4 x d x = int x^2 d x + int - 4 x d x = (x^3)/(3) - 2 x^2 + C

int - x^2 + 4 x d x = int - x^2 d x + int 4 x d x = - (x^3)/(3) + 2 x^2 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_(- 2)^2 |x^2 - 4 x| d x = int_(- 2)^0 x^2 - 4 x d x + int_0^2 - x^2 + 4 x d x = ((x^3)/(3) - 2 x^2)_(- 2)^0 + (- (x^3)/(3) + 2 x^2)_0^2 = (0^3)/(3) - 2 . 0^2 - (((- 2)^3)/(3) - 2 . (- 2)^2) + (- (2^3)/(3) + 2 . 2^2 - (- (0^3)/(3) + 2 . 0^2)) = 4 = (8)/(3) + 8 - (8)/(3) + 8 = 1 6

Resposta

int_(- 2)^2 |x^2 - 4 x| d x = 1 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça a antidiferenciaçãoint (root(3)(t) - (1)/(root(3)(t))) d t
Faça a antidiferenciaçãoint (cos^2 x sen x) d x
Faça a antidiferenciaçãoint sen 3 t d t
Faça a antidiferenciaçãoint sqrt(x) (1 + x^2) d x
Faça a antidiferenciaçãoint (sen sqrt(w))/(sqrt(w)) d w