Calcule a integral.

∫ - 2 2 x 2 - 4 x d x

Passo 1

Eita, aqui temos um módulo, mas calma, temos apenas que analisar a expressão dentro dele:

x 2 - 4 x = x x - 4 = 0

Temos que:

x = 0 e x = 4

Vemos que x 2 - 4 x é menor que 0 no intervalo 0,4 , assim a função fica - x 2 - 4 nesse intervalo, e no intervalo de - 2,0 fica x 2 - 4 , assim vamos separar a integral em duas, usando a propriedade:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Ficando assim:

∫ - 2 2 x 2 - 4 x d x = ∫ - 2 0 x 2 - 4 x   d x + ∫ 0 2 - x 2 - 4 x d x = ∫ - 2 0 x 2 - 4 x   d x + ∫ 0 2 - x 2 + 4 x   d x

Passo 2

Bem, para achar o valor dessas integrais vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

∫ x 2 - 4 x   d x + ∫ - x 2 + 4 x   d x

É fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Então ficamos com:

∫ x 2 - 4 x   d x = ∫ x 2 d x + ∫ - 4 x   d x = x 3 3 - 2 x 2 + C

∫ - x 2 + 4 x   d x = ∫ - x 2   d x + ∫ 4 x   d x = - x 3 3 + 2 x 2 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ - 2 2 x 2 - 4 x d x = ∫ - 2 0 x 2 - 4 x   d x + ∫ 0 2 - x 2 + 4 x   d x = x 3 3 - 2 x 2 - 2 0 + - x 3 3 + 2 x 2 0 2 = 0 3 3 - 2 . 0 2 - - 2 3 3 - 2 . - 2 2 + - 2 3 3 + 2 . 2 2 - - 0 3 3 + 2 . 0 2 = 4 = 8 3 + 8 - 8 3 + 8 = 1 6

Resposta

∫ - 2 2 x 2 - 4 x d x = 1 6

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