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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 12

Calcule a integral.

int (x)/(x^4 + x ² + 1) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então fazer uma Substituição, temos no numerador um x , e no denominador um x^4 , podemos tentar fazer com que u seja de uma forma que a derivada fique parecida com o x do numerador, assim:

u = x^2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (x)/(x^4 + x ² + 1) d x = int (d u)/(2 (u^2 + u + 1))

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Se formos tentar achar as raízes do denominador vamos ver que o Delta é negativo, assim não temos raízes reais, vamos tentar então ajustar o denominador para ter raízes reais, vemos que ele se parece muito com u^2 + u + (1)/(4) = (u + (1)/(2))^2 , assim vamos fazer essa modificação:

int (d u)/(2 (u^2 + u + 1)) = int (d u)/(2 (u + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) = (1)/(2) int (d u)/((u + (1)/(2))^2 + (3)/(4))

Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um u no denominador e uma constante no numerador, que é do formatado da derivada de u , podemos então usar a mudança de variável:

(sqrt(3))/(2) v = u + (1)/(2)

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

(sqrt(3))/(2) d v = 1 + 0 d u = d u

Fazendo a substituição ficamos com:

int (d u)/((u + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) = int ((sqrt(3))/(2) d v)/(((sqrt(3))/(2) v)^2 + (3)/(4)) = int ((sqrt(3))/(2) d v)/((3)/(4) v^2 + (3)/(4)) = int ((sqrt(3))/(2) d v)/((3)/(4) (v^2 + 1)) = int (sqrt(3))/(2) * (4)/(3 (v^2 + 1)) d v = int (2 sqrt(3))/(3 (v^2 + 1)) d v = (2 sqrt(3))/(3) int (1)/(v^2 + 1) d v

Passo 3

Vamos analisar o que fazer para calcular:

int (1)/(v^2 + 1) d v

Agora é simples, já tá na forma de uma das integrais indefinidas da tabela:

int (1)/(x^2 + 1) d x = tg^(- 1) x + C

Então ficamos com:

int (1)/(v^2 + 1) d v = tg^(- 1) v + C

Pronto, agora é ir só substituindo de volta:

int (d u)/(2 (u^2 + u + 1)) = (1)/(2) int (d u)/((u + (1)/(2))^2 + (3)/(4)) = (1)/(2) * (2 sqrt(3))/(3) int (1)/(v^2 + 1) d v = (sqrt(3))/(3) tg^(- 1) v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x)/(x^4 + x ² + 1) d x = (sqrt(3))/(3) tg^(- 1) ((u + (1)/(2)) * (2)/(sqrt(3))) + C = (sqrt(3))/(3) tg^(- 1) ((x^2 + (1)/(2)) * (2)/(sqrt(3))) + C

Resposta

int (x)/(x^4 + x ² + 1) d x = (sqrt(3))/(3) tg^(- 1) ((x^2 + (1)/(2)) * (2)/(sqrt(3))) + C

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