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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 26

Calcule a integral.

int (3 x^2 - 2)/(x^3 - 2 x - 8) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, pois temos um polinômio de maior grau como sendo 3 no denominador e de grau 2 no numerador, podemos tentar fazer com que u seja a expressão do denominador, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x^3 - 2 x - 8

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 3 x^2 - 2 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (3 x^2 - 2)/(x^3 - 2 x - 8) d x = int (1)/(u) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então ficamos com:

int (3 x^2 - 2)/(x^3 - 2 x - 8) d x = int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = x^3 - 2 x - 8 :

int (3 x^2 - 2)/(x^3 - 2 x - 8) d x = ln |u| + C = ln |x^3 - 2 x - 8| + C

Resposta

int (3 x^2 - 2)/(x^3 - 2 x - 8) d x = ln |x^3 - 2 x - 8| + C

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