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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 10

Faça a antidiferenciação

int (root(3)(t) - (1)/(root(3)(t))) d t

Passo 1

Primeiro, vamos escrever aquela raiz como potência:

root(3)(t) = t^((1)/(3))

A integral vai ficar:

int (root(3)(t) - (1)/(root(3)(t))) d t = int (t^((1)/(3)) - (1)/(t^((1)/(3)))) d t

Aqui, por mais que se tenhauma fração, essas antiderivadas são as de potência:

int t^n d t = (t^(n + 1))/(n + 1) , s e n != 1

Agora, vamos escrever a fração como potência:

(1)/(t^((1)/(3))) = t^(- (1)/(3))

A integral fica:

int (t^((1)/(3)) - (1)/(t^((1)/(3)))) d t = int (t^((1)/(3)) - t^(- (1)/(3))) d t

Por fim, vamos aplicar as propriedades de integrais:

int (t^((1)/(3)) - t^(- (1)/(3))) d t = int (t^((1)/(3))) d t - int (t^(- (1)/(3))) d t

Passo 2

Agora podemos aplicar as antiderivadas:

int (t^((1)/(3))) d t - int (t^(- (1)/(3))) d t = (x^((1)/(3) + 1))/((1)/(3) + 1) - (x^(- (1)/(3) + 1))/(- (1)/(3) + 1) + C

(x^((4)/(3)))/(4 // 3) - (x^((2)/(3)))/(2 // 3) + C

(3)/(4) x^((4)/(3)) - (3)/(2) x^((2)/(3)) + C

Resposta

(3)/(4) x^((4)/(3)) - (3)/(2) x^((2)/(3)) + C

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