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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 18

Efetua a antidiferenciação.

int x^3 (2 - x^2)^(12) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral (primitiva). Antes de fazermos alguma substituição, vamos reescrever a integral:

I = int x^3 (2 - x^2)^(12) d x = int x^2 (2 - x^2)^(12) x d x

Agora fazemos t = 2 - x^2 , de modo que x^2 = 2 - t e

2 x d x = - d t => x d x = - (d t)/(2)

Portanto,

I = - (1)/(2) int (2 - t) t^(12) d t = (1)/(2) int (t - 2) t^(12) d t

Passo 2

Agora podemos fazer a integração:

I = (1)/(2) int (t^(13) - 2 t^(12)) d t = (1)/(2) ((1)/(14) t^(14) - (2)/(13) t^(13)) + C

Logo,

I = (1)/(28) t^(14) - (1)/(13) t^(13) + C

Lembrando que t = 2 - x^2 :

I = (1)/(28) (2 - x^2)^(14) - (1)/(13) (2 - x^2)^(13) + C

Resposta

(1)/(28) (2 - x^2)^(14) - (1)/(13) (2 - x^2)^(13) + C

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