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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 15

Efetua a antidiferenciação.

int x sqrt(x + 2) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral (primitiva). Para simplificar um pouco a raiz, vamos tentar a substituição t = x + 2 . Assim, d t = d x e x = t - 2 :

I = int x sqrt(x + 2) d x = int (t - 2) sqrt(t) d t

Portanto,

I = int (t - 2) t^(1 // 2) d t = int (t^((3)/(2)) - 2 t^((1)/(2))) d t

Passo 2

Fazendo a integração:

I = (2)/(5) t^((5)/(2)) - 2 * (2)/(3) t^((3)/(2)) + C = (2)/(5) sqrt(t^5) - (4)/(3) sqrt(t^3) + C

Desta forma, como t = x + 2 :

I = (2)/(5) sqrt((x + 2)^5) - (4)/(3) sqrt((x + 2)^3) + C

Resposta

(2)/(5) sqrt((x + 2)^5) - (4)/(3) sqrt((x + 2)^3) + C

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