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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 49

Calcule a integral.

int (1)/(x sqrt(4 x + 1)) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com uma raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sqrt(4 x + 1) -> u^2 = 4 x + 1 -> x = (u^2 - 1)/(4)

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = 4 d x -> d x = (u d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x sqrt(4 x + 1)) d x = int (u)/(2 u ((u^2 - 1)/(4))) d u = int (1)/((u^2 - 1)/(2)) d u = int (2)/(u^2 - 1) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (d x)/(x^2 - a^2) = (1)/(2 a) ln |(x - a)/(x + a)| + C

Então ficamos com:

int (2)/(u^2 - 1) d u = 2 int (1)/(u^2 - 1) d u = 2 * (1)/(2 . 1) ln |(u - 1)/(u + 1)| + C = ln |(u - 1)/(u + 1)| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = sqrt(4 x + 1) :

int (1)/(x sqrt(4 x + 1)) d x = int (2)/(u^2 - 1) d u = ln |(u - 1)/(u + 1)| + C = ln |(sqrt(4 x + 1) - 1)/(sqrt(4 x + 1) + 1)| + C

Resposta

int (1)/(x sqrt(4 x + 1)) d x = ln |(sqrt(4 x + 1) - 1)/(sqrt(4 x + 1) + 1)| + C

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