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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 1

Calcule a integral int X S e n (X)/(2) d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

int u d v = u . v - int v d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u = x

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u = ( x ) ’ . d x

d u = 1 . d x

d u = d x

d v = S e n (x)/(2) d x

v = int S e n (x)/(2) d x

v = (- c o s (x)/(2))/((1)/(2))

v = - 2 . C o s (x)/(2)

OBS: Quando tivermos int S e n ( K . x ) d x , sendo K uma constante, então utilizamos a fórmula que vem do método da substituição: int S e n ( K . x ) d x = (- c o s ( K . x ))/(K) +c , o C será acrescentado no resultado final, a constante da questão é ½.

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

int u d v = u . v - int v d u

int x . s e n (x)/(2) d x = x . ( - 2 . c o s (x)/(2) ) - int ( - 2 ) . c o s (x)/(2) d x

= - 2 x . c o s (x)/(2) - ( - 2 ) int c o s (x)/(2) d x

= - 2 x . c o s (x)/(2) + 2 (s e n ((x)/(2)))/((1)/(2)) = - 2 X . c o s (X)/(2) + 4 . s e n (X)/(2) + C

OBS: Assim como para o seno, no cosseno usamos a fórmula similar que tem origem no método da substituição:

int c o s ( K . x ) d x = (s e n ( K . x ))/(K) + c

Resposta

int X . s e n (X)/(2) d x = - 2 X . c o s (X)/(2) + 4 . s e n (X)/(2) + C

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