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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 52

Calcule a integral.

int (d x)/(x (x^4 + 1))

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos manipular um pouco a expressão, multiplicando e dividindo por x :

int (d x)/(x (x^4 + 1)) = int (x d x)/(x^2 (x^4 + 1))

Vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com um x^2 , podemos tentar fazer com que u seja essa isso, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x^2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (x d x)/(x^2 (x^4 + 1)) = int (1)/(2 u (u^2 + 1)) d u = int (1)/(2) ((1)/(u (u^2 + 1))) d u = int (1)/(2) ((1)/(u) - (u)/(u^2 + 1)) d u = int (1)/(2 u) d u + int - (u)/(2 (u^2 + 1)) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos calcular as duas separadamente:

É fácil achar a primitiva da função da primeira, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então ficamos com:

int (1)/(2 u) d u = (1)/(2) int (1)/(u) d u = (ln |u|)/(2) + C

Com a segunda vamos fazer uma Substituição, vamos fazer a mudança de variável:

v = u^2 + 1

Vamos agora achar a diferencial de v , derivando:

d v = 2 u d u -> u d u = (d v)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (u)/(4 (u^2 + 1)) d u = int - (1)/(4 v) d v

Vamos usar o mesmo método que usamos para calcular a integral anterior:

int - (1)/(4 v) d v = - (1)/(4) int (1)/(v) d v = - (ln |v|)/(4) + C

Passo 3

Vamos juntar as duas agora:

int (1)/(2 u) d u + int - (u)/(4 (u^2 + 1)) d u = (ln |u|)/(2) - (ln |v|)/(4) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (d x)/(x (x^4 + 1)) = (ln |u|)/(2) - (ln |v|)/(4) + C = (ln |x^2|)/(2) - (ln |u^2 + 1|)/(4) + C = (ln |x^2|)/(2) - (ln |x^4 + 1|)/(4) + C

Podemos tirar os módulos, pois as duas expressões não assumem valor negativo:

int (d x)/(x (x^4 + 1)) = (ln x^2)/(2) - (ln x^4 + 1)/(4) + C

Resposta

int (d x)/(x (x^4 + 1)) = (ln x^2)/(2) - (ln x^4 + 1)/(4) + C

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