10. Calcule

u )   ∫ e x 1 + 3 e x d x

Passo 1

Se nos derivarmos o valor no denominador, vamos obter algo parecido com o que está no numerador. Logo, faremos

u = 1 + 3 e x   ⇒ d u = 3 e x d x   ⇒ e x d x = d u 3

Substituindo na integral, obtemos

∫ e x 1 + 3 e x d x =   ∫ 1 u d u 3   = 1 3 ∫ 1 u d u

Passo 2

Lembrando que ∫ 1 x d x = l n   x + k .

1 3 ∫ 1 u d u = 1 3 ln ⁡ u + k = 1 3 ln ⁡ 1 + 3 e x + k    

Como 1 + 3 e x > 0 , podemos tirar o módulo

1 3 ln ⁡ 1 + 3 e x + k   = 1 3 ln ⁡ ( 1 + 3 e x ) + k  

Resposta

Portanto,

∫ e x 1 + 3 e x d x = 1 3 ln ⁡ ( 1 + 3 e x ) + k  

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