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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10u

10. Calcule

u ) int (e^x)/(1 + 3 e^x) d x

Passo 1

Se nos derivarmos o valor no denominador, vamos obter algo parecido com o que está no numerador. Logo, faremos

u = 1 + 3 e^x => d u = 3 e^x d x => e^x d x = (d u)/(3)

Substituindo na integral, obtemos

int (e^x)/(1 + 3 e^x) d x = int (1)/(u) (d u)/(3) = (1)/(3) int (1)/(u) d u

Passo 2

Lembrando que int (1)/(x) d x = l n |x| + k .

(1)/(3) int (1)/(u) d u = (1)/(3) ln |u| + k = (1)/(3) ln |1 + 3 e^x| + k

Como 1 + 3 e^x > 0 , podemos tirar o módulo

(1)/(3) ln |1 + 3 e^x| + k = (1)/(3) ln ( 1 + 3 e^x ) + k

Resposta

Portanto,

int (e^x)/(1 + 3 e^x) d x = (1)/(3) ln ( 1 + 3 e^x ) + k

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