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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10o

10. Calcule

o ) int (x)/(sqrt(1 - x^4)) d x

Passo 1

Vamos começar usando a propriedade de potência (a^m)^n = a^(m . n) no x^4 .

int (x)/(sqrt(1 - x^4)) d x = int (x)/(sqrt(1 - (x^2)^2)) d x

Agora, podemos perceber que derivando o termo dentro dos parênteses teremos algo parecido com o valor no numerador. Logo, faremos

u = x^2 => d u = 2 x d x => x d x = (d u)/(2)

Substituindo na integral

int (x)/(sqrt(1 - (x^2)^2)) d x = int (1)/(sqrt(1 - u^2)) (d u)/(2) = (1)/(2) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 2

Lembrando que int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = sin^(- 1) x + k

(1)/(2) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u = (1)/(2) sin^(- 1) u + k = (1)/(2) sin^(- 1) x^2 + k

Resposta

Logo,

int (x)/(sqrt(1 - x^4)) d x = (1)/(2) sin^(- 1) x^2 + k

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