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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 14

Calcule a integral indefinida.

int t sqrt(2 t - t^2) d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Essa é a típica integral em que teremos que fazer uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz. Mas antes disso, precisamos escrever o termo dentro da raiz de um jeito mais amigável:

2 t - t^2 = 2 t - t^2 - 1 + 1 = 1 - (t^2 - 2 t + 1) = 1 - (t - 1)^2

Assim,

I = int t sqrt(2 t - t^2) d t = int t sqrt(1 - (t - 1)^2) d t

Fazendo a mudança de variável x = t - 1 , temos que

I = int (x + 1) sqrt(1 - x^2) d x

Passo 2

Agora podemos fazer a substituição trigonométrica x = s e n theta , de modo que

sqrt(1 - x^2) = sqrt(1 - s e n^2 theta) = cos theta

Além disso,

d x = cos theta d theta

Portanto,

I = int (1 + s e n theta) cos theta * cos theta d theta = int (1 + s e n theta) cos^2 theta d theta

Podemos quebrar essa integral em duas:

I = int cos^2 theta d theta + int s e n theta cos^2 theta d theta = I_1 + I_2 ,

onde

I_1 = int cos^2 theta d theta e I_2 = int s e n theta cos^2 theta d theta

Passo 3

Para calcular I_1 , lembre-se que

cos^2 theta = (1 + cos 2 theta)/(2)

Assim,

I_1 = (1)/(2) int (1 + cos 2 theta) d theta = (1)/(2) theta + (1)/(4) s e n 2 theta

Agora, para achar I_2 vamos fazer a substituição u = cos theta , assim d u = - s e n theta d theta . Portanto,

I_2 = - int u^2 d u = - (u^3)/(3) = - (cos^3 theta)/(3)

Passo 4

Agora podemos escrever I :

I = I_1 + I_2 = (1)/(2) theta + (1)/(4) s e n 2 theta - (cos^3 theta)/(3) + C

Lembrando que s e n 2 theta = 2 s e n theta cos theta , temos que

I = (1)/(2) theta + (1)/(2) s e n theta cos theta - (cos^3 theta)/(3) + C

Agora vem a parte mais chata, escrever tudo em função de x para depois escrever em função de t ...

Sabemos que s e n theta = x . Assim,

s e n^2 theta + cos^2 theta = 1 => cos theta = sqrt(1 - s e n^2 theta) = sqrt(1 - x^2)

Além disso, theta = a r c s e n x . Portanto,

I = (1)/(2) a r c s e n x + (1)/(2) x sqrt(1 - x^2) - ((sqrt(1 - x^2))^3)/(3) + C

Por fim, temos que x = t - 1 e sqrt(1 - x^2) = sqrt(2 t - t^2) . Logo,

I = (1)/(2) a r c s e n (t - 1) + (1)/(2) (t - 1) sqrt(2 t - t^2) - ((sqrt(2 t - t^2))^3)/(3) + C

Resposta

(1)/(2) a r c s e n (t - 1) + (1)/(2) (t - 1) sqrt(2 t - t^2) - ((sqrt(2 t - t^2))^3)/(3) + C

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