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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4j

4. Calcule

j)

int (1)/(x^2 + 2 x + 5) d x

Passo 1

Queremos integrar o seguinte:

I = int (1)/(x^2 + 2 x + 5) d x

Pra começar, vamos mexer nesse denominador. Vem comigo!

D = x^2 + 2 x + 5

Lembra que (x + 1)^2 = x^2 + 2 x + 1 ?!, Então:

D = x^2 + 2 x + 1 + 4

Isto é,

D = (x + 1)^2 + 4

Passo 2

Antes nossa integral era:

I = int (1)/(x^2 + 2 x + 5) d x

Usando o desenvolvimento do Passo 1:

I = int (1)/((x + 1)^2 + 4) d x

Deixa eu te lembrar uma integral:

int (d u)/(1 + u^2) = arctg (u) + C

Viu que ta parecido? Então vamos mexer um pouco pra ficar igualzinho. Pra começar, vamos colocar o 4 em evidencia para aparecer aquele 1 do termo 1 + u^2 .

I = int (1)/(4 (((x + 1)^2)/(4) + 1)) d x

Passo 3

Agora vamos fazer uma substituição, olha só:

u^2 = ((x + 1)^2)/(4) -> u = (x + 1)/(2)

Derivando,

d u = (1)/(2) d x -> d x = 2 d u

Nossa integral fica o seguinte:

I = int (1)/(4 (u^2 + 1)) 2 d u

Portanto,

I = (1)/(2) int (d u)/(1 + u^2)

Usando o resultado do Passo 1:

I = (1)/(2) (arctg (u) + C)

Voltando para variável x e juntando as constantes:

I = (1)/(2) arctg ((x + 1)/(2)) + k

Resposta

int (1)/(x^2 + 2 x + 5) d x = (1)/(2) arctg ((x + 1)/(2)) + k

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