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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 78

Calcule a integral definida.

int_(sqrt(2) // 2)^1 (x^3)/(sqrt(2 - x^2)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para esse integral vamos fazer a substituição u = 2 - x^2 . Assim,

d u = - 2 x d x => x d x = - (d u)/(2)

Além disso, x^2 = 2 - u e quando x = sqrt(2) // 2 , temos que u = 3 // 2 e para x = 1 => u = 1 :

I = int_(sqrt(2) // 2)^1 (x^3)/(sqrt(2 - x^2)) d x = - (1)/(2) int_((3)/(2))^1 (2 - u)/(sqrt(u)) d u = (1)/(2) int_1^(3 // 2) (2 u^(- (1)/(2)) - u^((1)/(2))) d u

Passo 2

Efetuando a integral:

I = (1)/(2) (2 * 2 u^((1)/(2)) - (2)/(3) u^((3)/(2)))_1^(3 // 2) = (2 sqrt(u) - (1)/(3) (sqrt(u))^3)_1^(3 // 2)

Assim,

I = 2 sqrt((3)/(2)) - (1)/(3) * (3)/(2) * sqrt((3)/(2)) - 2 + (1)/(3)

Portanto,

I = (3)/(2) sqrt((3)/(2)) - (5)/(3) = (3)/(4) sqrt(6) - (5)/(3)

Resposta

(3)/(4) sqrt(6) - (5)/(3)

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