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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 9

Calcule a integral indefinida:

int (x^2 d x)/((x^2 + 4)^2)

Passo 1

Pessoal, a primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos x^2 + 4 = x^2 + 2^2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 2 tan theta .

Passo 2

Façamos então a substituição:

[[x,=,2,tan theta],[d,x,=,2,sec^2 theta,d,theta]]

Dessa forma, x^2 = 4 tan^2 theta -> x^2 + 4 = 4 tan^2 theta + 4 = 4 overset(sec^2 theta)(obrace (tan^2 theta + 1)) = 4 sec^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral:

int (x^2 d x)/((x^2 + 4)^2) = int (4 tan^2 theta 2 sec^2 theta d theta)/((4 sec^2 theta)^2) = (8)/(16) int (tan^2 theta sec^2 theta)/(sec^4 theta) d theta

= (1)/(2) int (tan^2 theta)/(sec^2 theta) d theta = (1)/(2) int ((sen^2 theta)/(cos^2 theta))/((1)/(cos^2 theta)) d theta = (1)/(2) int sen^2 theta d theta

Agora vamos usar a relação sen^2 theta = (1 - cos 2 theta)/(2) .

(1)/(2) int sen^2 theta d theta = (1)/(2) int (1 - cos 2 theta)/(2) d theta = (1)/(4) int (1 - cos 2 theta) d theta = (1)/(4) (theta - (sen 2 theta)/(2)) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 2 tan theta , temos:

int (x^2 d x)/((x^2 + 4)^2) = (1)/(4) (theta - (sen 2 theta)/(2)) + C

Perceba que theta = tan^(- 1) (x)/(2) , pois x = 2 tan theta e sen 2 theta = 2 sen theta cos theta . Para achar cos theta e sen theta nós olhamos o triângulo da substituição som seno construído no inicio e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen theta = (x)/(sqrt(x^2 + a^2)) = (x)/(sqrt(x^2 + 4)) e cos theta = (a)/(sqrt(x^2 + a^2)) = (2)/(sqrt(x^2 + 4))

Dessa forma,

sen 2 theta = 2 (x)/(sqrt(x^2 + 4)) * (2)/(sqrt(x^2 + 4)) = (4 x)/(x^2 + 4)

E o resultado da integral será:

int (x^2 d x)/((x^2 + 4)^2) = (1)/(4) (tan^(- 1) ((x)/(2)) - (2 x)/(x^2 + 4)) + C

Resposta

int (x^2 d x)/((x^2 + 4)^2) = (1)/(4) (tan^(- 1) ((x)/(2)) - (2 x)/(x^2 + 4)) + C

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