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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 67

Calcule a integral

int (1)/(sqrt(x + 1) + sqrt(x)) d x

Passo 1

Boa galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral.

Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Iremos modificar a função que temos de forma que possamos realizar a integração.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

int (1)/(sqrt(x + 1) + sqrt(x)) d x

Multiplicando e dividindo por sqrt(x + 1) - sqrt(x)

= int (1)/(sqrt(x + 1) + sqrt(x)) ((sqrt(x + 1) - sqrt(x))/(sqrt(x + 1) - sqrt(x))) d x

= int ( sqrt(x + 1) - sqrt(x) ) d x

Passo 3

Resolvendo a integral, obtemos

int (x + 1)^((1)/(2)) d x - int x^((1)/(2)) d x

int ( sqrt(x + 1) - sqrt(x) ) d x = (2)/(3) [(x + 1)^(3 // 2) - x^(3 // 2)] + C

Resposta

int (1)/(sqrt(x + 1) + sqrt(x)) d x = (2)/(3) [(x + 1)^(3 // 2) - x^(3 // 2)] + C

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