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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 19

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 π 5 5 - 4 cos ⁡ t 1 / 4 sin ⁡ t d t

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável:

u = 5 - 4 cos ⁡ t

Derivando dos dois lados:

d u = 0 + 4 sin ⁡ t d t

d u 4 = sin ⁡ t d t

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

t = 0 → u = 5 - 4 cos ⁡ 0 = 1

t = π → u = 5 - 4 cos ⁡ π = 9

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 π 5 5 - 4 cos ⁡ t 1 / 4 sin ⁡ t d t = 5 ∫ 0 π 5 - 4 cos ⁡ t 1 / 4 sin ⁡ t d t = 5 ∫ 1 9 u 1 4 d u 4

Calculando a integral:

5 4 ∫ 1 9 u 1 4 d u = 5 4 u 5 / 4 5 / 4 1 9 = 5 4 4 u 5 / 4 5 1 9 = u 5 / 4 1 9

5 4 ∫ 1 9 u 1 4 d u = 9 5 / 4 - 1 5 4 = 3 2 5 4 - 1 = 3 5 / 2 - 1

Prontinho!!!

Resposta

3 5 / 2 - 1

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